Autocorrelación Parcial-PACF#

La Función de Autocorrelación Parcial (PACF) mide la correlación directa entre los valores de una serie de tiempo separados por \(k\) periodos, eliminando el efecto de los rezagos intermedios.

Mientras que la ACF muestra la relación total (directa e indirecta) entre \(y_t\) y \(y_{t-k}\), la PACF muestra sólo la parte directa entre esos dos puntos.

Motivación: ¿Por qué necesitamos la PACF?

En procesos autorregresivos (AR), los valores pasados afectan al presente, pero también entre sí.
La ACF no distingue entre la influencia directa y la indirecta: por ejemplo, la correlación entre \(y_t\) y \(y_{t-2}\) incluye la influencia de \(y_{t-1}\) como “puente”.
La PACF elimina ese “efecto puente” y mide la correlación neta entre \(y_t\) y \(y_{t-k}\).

Definición formal:

El coeficiente de autocorrelación parcial en el lag \(k\) (\(\phi_{kk}\)) es la correlación entre \(y_t\) y \(y_{t-k}\) condicionada a los valores intermedios \(y_{t-1}, y_{t-2}, ..., z_{t-k+1}\).
Es el último coeficiente del modelo AR(\(k\)) estimado por regresión múltiple.

¿Cómo se interpreta la PACF?

En un proceso AR(p), la PACF es significativa solo hasta el rezago :math:`p` y para lags mayores cae rápidamente a cero.
Por eso, el número de rezagos significativos en la PACF indica el orden :math:`p` de un modelo AR(p).
La ACF es mejor para identificar el orden \(q\) de un MA(q), la PACF es clave para determinar el \(p\) de un AR(p).

Comparación ACF vs PACF

	ACF	PACF
Mide	Correlación total (directa + indirecta)	Correlación directa
Útil para	Identificar orden MA(q)	Identificar orden AR(p)
Patrón AR	Caída exponencial o lenta	Corte brusco después de lag p

Serie / Mod elo	ACF	PACF	Mo delo Su geri do	Patrón visual clave
Ruido b lanco	Todos los rezagos dentro de la franja, no significativos	Todos los rezagos dentro de la franja, no si gnificativos	Nin guno / P aseo a leat orio	No hay correlaciones, ni en ACF ni en PACF
AR(p)	Decae gradualmente (exponencial u oscilante)	Corte brusco en lag p (s ignificativo hasta p, luego cero)	A R(p)	PACF con corte brusco; ACF decae lento
MA(q)	Corte brusco en lag q (significativo hasta q, luego cero)	Decae gradualmente	M A(q)	ACF con corte brusco; PACF decae lento
ARMA (p,q)	Ambas decaen gradualmente (sin cortes bruscos)	Ambas decaen gradualmente	A RMA( p,q)	Tanto ACF como PACF decaen lento/oscilar sin corte claro
Esta ciona lidad pura	Picos periódicos en múltiplos del periodo	Picos o patrones oscilantes en múltiplos del periodo	SA RIMA	ACF y PACF con picos fijos (ej. cada 12 lags si mensual)
Tend encia	ACF decae muy lentamente, rara vez cerca de cero	PACF s ignificativa solo en primeros lags, luego dispersión	Apl icar di fere ncia	ACF con caída lenta; indica no estacionariedad
Tend encia y Esta ciona lidad	ACF con caída lenta y picos periódicos	PACF con corte brusco y patrones oscilantes	Dif eren ciar y mod elar es taci onal idad	Combinación de patrones de tendencia y estacionalidad en ACF y PACF