Estadística aplicada a los activos bursátiles#

Utilizar el archivo Cuatro acciones 2020.csv.

Importar datos.#

datos = read.csv("Cuatro acciones 2020.csv", sep = ";", dec = ",", header = T)

head(datos)
A data.frame: 6 × 5
FechaECOPFAVALISANUTRESA
<fct><int><int><int><int>
126/03/2018277511651308025720
227/03/2018264511551308025700
328/03/2018261511651332025980
42/04/2018 269011651342025920
53/04/2018 273011751366025920
64/04/2018 274011901356025840

Matriz de precios.#

precios = datos[,-1]

head(precios)
A data.frame: 6 × 4
ECOPFAVALISANUTRESA
<int><int><int><int>
1277511651308025720
2264511551308025700
3261511651332025980
4269011651342025920
5273011751366025920
6274011901356025840

Nombres de las acciones.#

colnames extrae los nombres de los encabezados.

nombres = colnames(precios)
nombres
  1. 'ECO'
  2. 'PFAVAL'
  3. 'ISA'
  4. 'NUTRESA'

ncol cuanta cuántas columnas tiene las matrices.

acciones = ncol(precios)
acciones
4

Conversión de la base de datos como serie de tiempo.#

La función ts hace una conversión a los precios como series de tiempo. Este paso puede ser opcional.

precios = ts(precios)

Gráfica de los precios de las acciones.#

plot(precios, t = "l", xlab = "Tiempo")
../../_images/output_17_05.png

Rendimientos de las acciones.#

Rendimiento discreto:

\[Rendimiento_t=\frac{Precio_t-Precio_{t-1}}{Precio_{t-1}}=\frac{Precio_t}{Precio_{t-1}}-1\]

Conversión de tasas discretas a continuas:

\[log(1+r)\]

Rendimiento continuo o logarítmico o geométrico:

\[Rendimiento_t=log(1+Rendimiento_{discreto})\]
\[Rendimiento_t=log\frac{Precio_t}{Precio_{t-1}}\]

Los rendimientos discretos y continuos se aproximan cuando el rendimiento es pequeño, y los rendimientos serán pequeños si se trara de un horizonte de tiempo corto.

En adelante, usaremos los rendimientos continuos.

De las propiedades de los logaritmos tenemos:

\[log\frac{Precio_t}{Precio_{t-1}}=log(Precio_t)-log(Precio_{t-1})\]

Matriz de rendimientos.#

Con log(precios[,i] se aplica la función de logaritmo natural a todos los precios y con la función diff se calcula la diferencia de los logaritmos que de las propiedades de los logaritmo mencionada anteriormente, se llega a los rendimientos por período de cada acción

rendimientos <- matrix(0, nrow(precios) -1, acciones)

for(i in 1:acciones){

  rendimientos[,i] = diff(log(precios[,i]))

}

Cuando se aplica la función ts a los precios, no es necesario utilizar el código anterior para calcular los rendimientos. Se puede hacer de la siguiente manera:

rendimientos = diff(log(precios))

head(rendimientos)
A matrix: 6 × 4 of type dbl
ECOPFAVALISANUTRESA
-0.047979682-0.008620743 0.000000000-0.0007779075
-0.011406968 0.008620743 0.018182319 0.0108360193
0.028277096 0.000000000 0.007479466-0.0023121398
0.014760416 0.008547061 0.017725723 0.0000000000
0.003656311 0.012685160-0.007347572-0.0030911926
0.000000000 0.020790770 0.023324673 0.0153612852

Si se tiene \(n\) cantidad de precios, se tendrá \(n-1\) rendimientos. Cada acción acción tiene 500 precios, entonces, se tendrán 499 rendimientos.

El tamaño de un vector o columna se calcula con dim.

dim(precios)
  1. 500
  2. 4
dim(rendimientos)
  1. 499
  2. 4

Gráficas de los rendimientos de las acciones.#

plot(rendimientos[,1], t = "h", xlab = "Tiempo", ylab = "Rendimientos", main = nombres[1])
../../_images/output_30_03.png 
plot(rendimientos[,2], t = "h", xlab = "Tiempo", ylab = "Rendimientos", main = nombres[2])
../../_images/output_31_03.png 
plot(rendimientos[,3], t = "h", xlab = "Tiempo", ylab = "Rendimientos", main = nombres[3])
../../_images/output_32_04.png 
plot(rendimientos[,4], t = "h", xlab = "Tiempo", ylab = "Rendimientos", main = nombres[4])
../../_images/output_33_02.png

Los cuatro gráficos anteriores se pueden juntar en uno solo. En R se utiliza el siguiente código para dividir la ventana donde salen los gráficos. Primero se crea una matriz con las posiciones que queremos tener y después se muestra la matriz con layout.show().

layout(matrix(c(1:4),nrow=2,byrow=F))
layout.show(4)
../../_images/output_35_02.png

Para quitar la partición a la ventana plot se debe correo el código dev.off(). Así los gráficos saldran del tamaño de la ventana y un solo un gráfico por ventana.

layout(matrix(c(1:4), nrow = 2, byro w= F))
layout.show(4)
for(i in 1:acciones){

    plot(rendimientos[,i], t = "h", xlab = "Tiempo", ylab = "Rendimientos", main = nombres[i])
}
../../_images/output_37_03.png

Estadísticas básicas de los rendimientos#

summary(rendimientos)

     ECO                 PFAVAL                ISA
Min.   :-0.4065868   Min.   :-0.4038136   Min.   :-0.2756262
1st Qu.:-0.0096775   1st Qu.:-0.0077671   1st Qu.:-0.0084762
Median : 0.0000000   Median : 0.0000000   Median : 0.0012682
Mean   :-0.0004472   Mean   :-0.0003983   Mean   : 0.0006398
3rd Qu.: 0.0117059   3rd Qu.: 0.0081301   3rd Qu.: 0.0101129
Max.   : 0.1498123   Max.   : 0.2058521   Max.   : 0.1386834
   NUTRESA
Min.   :-0.105361
1st Qu.:-0.006312
Median : 0.000000
Mean   :-0.000268
3rd Qu.: 0.005472
Max.   : 0.065983

Se debe instalar el paquete install.packages("fBasics"). Utilizar el código anterior en R para instalar el paquete. Después de instalar, se llama la librería fBasics.

library(fBasics)

basicStats(rendimientos)
A data.frame: 16 × 4
ECOPFAVALISANUTRESA
<dbl><dbl><dbl><dbl>
nobs499.000000499.000000499.000000499.000000
NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
Minimum -0.406587 -0.403814 -0.275626 -0.105361
Maximum 0.149812 0.205852 0.138683 0.065983
1. Quartile -0.009678 -0.007767 -0.008476 -0.006312
3. Quartile 0.011706 0.008130 0.010113 0.005472
Mean -0.000447 -0.000398 0.000640 -0.000268
Median 0.000000 0.000000 0.001268 0.000000
Sum -0.223144 -0.198765 0.319287 -0.133754
SE Mean 0.001429 0.001278 0.001062 0.000627
LCL Mean -0.003256 -0.002910 -0.001447 -0.001500
UCL Mean 0.002361 0.002113 0.002727 0.000964
Variance 0.001020 0.000816 0.000563 0.000196
Stdev 0.031932 0.028558 0.023729 0.014010
Skewness -4.487458 -4.641477 -2.657806 -0.908069
Kurtosis 57.943763 87.840091 38.693818 11.122682

Rendimientos esperados.#

El rendimiento esperado es el promedio de los 499 rendimientos de cada acción. La función mean calcula el promedio.

El rendimiento esperado de cada acción se puede calcular de dos formas:

Forma 1:#

rendimientos_esperados = vector()

for(i in 1:acciones){

    rendimientos_esperados[i] = mean(rendimientos[,i])

}
rendimientos_esperados
  1. -0.000447181465559539
  2. -0.000398326704447035
  3. 0.000639854532799824
  4. -0.000268043266851791

Forma 2:#

Se puede utilizar la función apply. En esta función se debe indicar el valor de 1para aplicar otra función a las filas del vector o matriz o el valor 2 para aplicar otra función a las columnas. En este caso se aplicará mean a las columnas de las matriz de rendimientos.

rendimientos_esperados = apply(rendimientos, 2, mean)
rendimientos_esperados
ECO
-0.000447181465559539
PFAVAL
-0.000398326704447035
ISA
0.000639854532799824
NUTRESA
-0.000268043266851791

La frecuencia de las series de tiempo cargadas es diaria, esto implica que los resultados tendrán la misma frecuencia temporal. Por tanto, los rendimientos son diarios.

Rendimiento esperado:

ECO: -0,000447 \(=\) -0,0447% diario.

PFVAVAL: -0,000398 \(=\) -0,0398% diario.

ISA: -0,000640 \(=\) -0,0640% diario.

NUTRESA: -0,000268 \(=\) -0,0268% diario.

Volatilidad o desviación estándar#

La volatilidad de las acciones se calculan con la funciónsd.

La volatilidad de cada acción se puede calcular de dos formas:

Forma 1:#

volatilidades = vector()

for(i in 1:acciones){

    volatilidades[i ]= sd(rendimientos[,i])

}
volatilidades
  1. 0.0319324424190137
  2. 0.0285577211893029
  3. 0.0237292026947701
  4. 0.0140104740592151

Forma 2:#

volatilidades = apply(rendimientos, 2, sd)
volatilidades
ECO
0.0319324424190137
PFAVAL
0.0285577211893029
ISA
0.0237292026947701
NUTRESA
0.0140104740592151

Volatilidad:

ECO: 0,0319 \(=\) 3,19% diario.

PFVAVAL: 0,0286 \(=\) 2,86% diario.

ISA: 0,0237 \(=\) 2,37% diario.

NUTRESA: 0,0140 \(=\) 1,40% diario.

Histograma de los rendimientos.#

layout(matrix(c(1:4), nrow = 2, byrow = F))

for(i in 1:acciones){

    hist(rendimientos[,i], breaks = 60, col = "gray", xlab = "Rendimientos", ylab = "Frecuencia", main = nombres[i], freq = F)
}
../../_images/output_59_01.png

Histograma y distribución normal.#

layout(matrix(c(1:4), nrow = 2, byrow = F))

for(i in 1:acciones){

    hist(rendimientos[,i], breaks = 60, col = "gray", xlab = "Rendimientos", ylab = "Frecuencia", main = nombres[i], freq = F)
    curve(dnorm(x, mean = rendimientos_esperados[i], sd = volatilidades[i]), add = T, lwd = 3)
}
../../_images/output_61_01.png

Histograma y densidad.#

layout(matrix(c(1:4), nrow = 2, byrow = F))

for(i in 1:acciones){

    hist(rendimientos[,i], breaks = 60, col = "gray", xlab = "Rendimientos", ylab = "Frecuencia", main = nombres[i], freq = F)
    lines(density(rendimientos[,i]), lwd = 3, col = "darkgreen")
}
../../_images/output_63_03.png

Histograma, distribución normal y densidad.#

layout(matrix(c(1:4), nrow = 2, byrow = F))

for(i in 1:acciones){

    hist(rendimientos[,i], breaks = 60, col = "gray", xlab = "Rendimientos", ylab = "Frecuencia", main = nombres[i], freq = F)
    curve(dnorm(x, mean = rendimientos_esperados[i], sd = volatilidades[i]), add = T, lwd = 3)
    lines(density(rendimientos[,i]), lwd = 3, col = "darkgreen")
    legend("topleft", c("Distribución Normal", "Distribución empírica"), lty = c(1,1), lwd = c(3,3), col = c("black", "darkgreen"), bty = "n")
}
../../_images/output_65_0.png

Análisis de normalidad.#

Se hace una comparación de cada cuatíl de la distribución empírica con respecto a la distribución normal. La línea recta es una guía.

Estas gráficas se llaman Q-Q plot.

layout(matrix(c(1:4), nrow = 2, byrow = F))

for(i in 1:acciones){

    qqnorm(rendimientos[,i], main = nombres[i])
    qqline(rendimientos[,i])
}
../../_images/output_68_01.png

Covarianza#

Es una medida de relación lineal entre dos variables aleatorios describiendo el movimiento conjunto entre éstas.

covarianza = cov(rendimientos)
covarianza
A matrix: 4 × 4 of type dbl
ECOPFAVALISANUTRESA
ECO0.00101968090.00059394680.00011603270.0001493216
PFAVAL0.00059394680.00081554340.00015643600.0001322689
ISA0.00011603270.00015643600.00056307510.0001519996
NUTRESA0.00014932160.00013226890.00015199960.0001962934

Correlación#

Mide el grado de movimiento conjunto entre dos variables o la relación lineal entre ambas en un rango entre -1 y +1.

correlacion = cor(rendimientos)
correlacion
A matrix: 4 × 4 of type dbl
ECOPFAVALISANUTRESA
ECO1.00000000.65131610.15313170.3337626
PFAVAL0.65131611.00000000.23085010.3305836
ISA0.15313170.23085011.00000000.4572004
NUTRESA0.33376260.33058360.45720041.0000000