Valoración de opciones por el método de Simulación Monte Carlo#

Importar datos.#

datos = read.csv("TRM diaria febrero 2020.csv", sep = ";", dec = ",")

head(datos)

A data.frame: 6 × 2
	Fecha	TRM
	<fct>	<dbl>
1	20/04/2018	2724.47
2	23/04/2018	2757.96
3	24/04/2018	2799.45
4	25/04/2018	2785.22
5	26/04/2018	2820.29
6	27/04/2018	2812.83

Vector de precios.#

precios = datos[,2]
precios = ts(precios)

Rendimientos continuos#

rendimientos = diff(log(precios))

Gráfico de los precios#

plot(precios, main = "Precio", lwd = 3)

Gráfico de los rendimientos#

plot(rendimientos, main = "Rendimientos", t = "h")

\(S_0:\)#

s = tail(precios,1)
s = as.numeric(s)
s

3401.56

\(\mu:\) Rendimiento esperado#

mu = mean(rendimientos) #diario
mu

0.000504455082133001

\(\sigma:\)Volatilidad#

volatilidad = sd(rendimientos) #diaria
volatilidad

0.00641517094088037

Simulación del precio del activo subyacente (neutral al riesgo)#

La modelación se realiza con las tasas libres de riesgo \(r\).

\[S_{t+\Delta t}=S_t e^{[(r- \frac{\sigma ^2}{2})\Delta t+\sigma\epsilon \sqrt{\Delta t}]}\]

Cuando el activo subyacente es una divisa se usa \(r - r_f\).

\[S_{t+\Delta t}=S_t e^{[(r - r_{f} - \frac{\sigma ^2}{2})\Delta t+\sigma\epsilon \sqrt{\Delta t}]}\]

Valoración de opciones europeas por Simulación Monte Carlo#

\[Prima Call = Máx[S_T - K; 0]e^{-rT}\]

\[Prima Call_{divisas} = Máx[S_T - K; 0]e^{-(r - r_f)T}\]

\[Prima Put = Máx[K - S_T; 0]e^{-rT}\]

\[Prima Put_{divisas} = Máx[K - S_T; 0]e^{-(r - r_f)T}\]

Valoración de una opción europea sobre divisas con vencimiento a un mes.#

# Tasas libres de riesgo

r = 0.018 # E.A. (Colombia)

rf = 0.003 # Nominal (USA)

# Con el modelo Black-Scholes se trabaja con tasas continuas:

r = log(1+r) # C.C.A.

rf = log(1+rf/12)*12 # C.C.A.

T = 30 # 1 mes
k = 3450
dt = 1 # saltos diarios
iteraciones = 10000

set.seed(1) # Valor semilla para la simulación. Con esto siempre se obtendrá el mismo valor.

# Simulación del precio del activo subyacente con un mundo neutral al riesgo

st_prima = matrix(, iteraciones, T+1)

st_prima[,1] = s

for(i in 1:iteraciones){

    for(j in 2:(T+1)){

   st_prima[i,j] = st_prima[i,j-1]*exp((r/360-rf/360-volatilidad^2/2)*dt+volatilidad*sqrt(dt)*rnorm(1))

   }
}

compensacionesCall = vector()
compensacionesPut = vector()

for(i in 1:iteraciones){

    compensacionesCall[i] = max(st_prima[i,T+1]-k,0)*exp(-(r-rf)*1/12)

    compensacionesPut[i] = max(k-st_prima[i,T+1],0)*exp(-(r-rf)*1/12)
}

primaCall = mean(compensacionesCall)
primaCall

28.6308069043686

primaPut = mean(compensacionesPut)
primaPut

73.1041559547008

Prima opción Call europea: \(28,63 COP\).

Prima opción Put europea: \(73,10 COP\).

hist(compensacionesCall, col = "gray", xlab = "Compensación", ylab = "Frecuencia", main = "Compensaciones Call")

hist(compensacionesPut, col = "gray", xlab = "Compensación", ylab = "Frecuencia", main = "Compensaciones Put")

Valoración de opciones por el método de Simulación Monte Carlo

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