Volatilidad GARCH

Importar datos

datos = read.csv("Tres acciones.csv", sep=";", dec=",", header = T)

Matriz de precios

precios = datos[,-1]

head(precios)
tail(precios)
A data.frame: 6 × 3
ECOPFBCOLOMISA
<int><int><int>
11995168007000
21960163806810
31905158806890
41860159806710
51755159006590
61725153406320
A data.frame: 6 × 3
ECOPFBCOLOMISA
<int><int><int>
281130304126019000
281230154202019160
281330004128019300
281430004130019800
281529804116019200
281629804130018960
 
nombres = colnames(precios)
nombres
  1. 'ECO'
  2. 'PFBCOLOM'
  3. 'ISA'
acciones = ncol(precios)
acciones
3
precios = ts(precios)

Matriz de rendimientos

rendimientos = diff(log(precios))

Gráfico de los rendimientos

plot(rendimientos, main = "Rendimientos")
../../../_images/output_11_06.png

Volatilidad de cada acción

Esta forma de calcular la volatilidad también se llama volatilidad histórica. Cada uno de los rendimientos tiene igual peso para la volatilidad.

volatilidades = apply(rendimientos, 2, sd)
print(volatilidades)

       ECO   PFBCOLOM        ISA
0.01862871 0.01583774 0.01556859

Volatilidad GARCH (1,1)

\[\sigma_t=\sqrt{\omega+\alpha r^2_{t-1}+\beta \sigma^2_{t-1}}\]

Donde;

\[\omega=\gamma V_L\]
\[\sigma_t=\sqrt{\gamma V_L+\alpha r^2_{t-1}+\beta \sigma^2_{t-1}}\]

\(V_L:\) Es la volatilidad a largo plazo.

\(\gamma:\) Peso asignado a la volatilidad a largo plazo.

\(\alpha:\) Peso asignado al rendimiento al cuadrado del período anterior (\(r^2_{t-1}\)).

\(\beta:\) Peso asignado a la varianza del período anterior (\(\sigma^2_{t-1}\)).

Al igual que en la fórmula de la volatilidad EWMA, la fórmula de la volatilidad GARCH es recursida, el resultado del período actual depende de los resultados del período anterior.

La volatilida GARCH (1,1) es similar a la volatilidad EWMA si \(\alpha=(1-\lambda)\) y \(\beta=\lambda\), solo que GARCH tiene un término adicional que es la volatilidad a largo plazo, \(V_L\) y su correspondiente peso \(\gamma\).

\[\gamma=1-\alpha-\beta\]
\[V_L=\frac{\omega}{\gamma}\]

Entonces,

\[V_L=\frac{\omega}{1-\alpha-\beta}\]

Esta es otra forma de calcular \(V_L\). Esta volatilidad de largo plazo indica el valor al que se espera que la volatilidad de la acción se estabilice en los siguientes períodos, es decir, se espera que la volatilidad de los siguientes períodos tienda al valor de \(V_L\).

Los coeficientes de la volatilidad GARCH(1,1) se pueden hallar con la librería tseries.

Se debe instalar el paquete tseries: install.packages("tseries").

Llamar la librería tseries después de instalarla:

library(tseries)

Coeficientes de la volatilidad GARCH

La volatilidad GARCH(1,1) tiene tres coeficientes. La función garch() estima el GARCH(1,1) y la función coef() extrae solo los tres coeficientes. De esta forma, se utilizará la función coef() sobre la función garch().

coeficientes_garch = matrix(, 3, acciones)

for(i in 1:acciones){

  coeficientes_garch[, i] = coef(garch(rendimientos[, i]))
}

* ESTIMATION WITH ANALYTICAL GRADIENT *


    I     INITIAL X(I)        D(I)

    1     3.123260e-04     1.000e+00
    2     5.000000e-02     1.000e+00
    3     5.000000e-02     1.000e+00

   IT   NF      F         RELDF    PRELDF    RELDX   STPPAR   D*STEP   NPRELDF
    0    1 -9.861e+03
    1    7 -9.864e+03  2.76e-04  4.08e-04  1.5e-04  1.8e+10  1.5e-05  3.71e+06
    2    8 -9.864e+03  2.95e-05  3.38e-05  1.3e-04  2.0e+00  1.5e-05  3.20e+01
    3    9 -9.864e+03  1.81e-06  1.85e-06  1.5e-04  2.0e+00  1.5e-05  3.18e+01
    4   16 -9.898e+03  3.43e-03  4.88e-03  3.8e-01  2.0e+00  6.1e-02  3.17e+01
    5   19 -9.939e+03  4.13e-03  3.62e-03  6.9e-01  2.0e+00  2.4e-01  1.10e+00
    6   21 -9.949e+03  9.88e-04  9.46e-04  7.6e-02  2.0e+00  4.9e-02  1.39e+02
    7   23 -1.000e+04  5.53e-03  8.04e-03  3.6e-01  2.0e+00  3.9e-01  8.73e+03
    8   33 -1.003e+04  2.84e-03  1.11e-02  1.3e-05  4.1e+00  1.8e-05  2.56e-01
    9   43 -1.004e+04  6.25e-04  3.73e-04  7.3e-03  1.9e+00  1.1e-02  3.38e-03
   10   44 -1.004e+04  2.47e-04  4.59e-04  7.2e-03  2.0e+00  1.1e-02  1.95e-01
   11   45 -1.004e+04  1.82e-04  2.33e-04  7.1e-03  2.0e+00  1.1e-02  6.72e-02
   12   46 -1.004e+04  5.07e-05  8.78e-05  7.0e-03  2.0e+00  1.1e-02  2.68e-02
   13   58 -1.004e+04  3.64e-06  9.51e-06  3.7e-07  2.7e+00  5.7e-07  8.01e-04
   14   59 -1.004e+04  9.00e-07  7.87e-07  3.5e-07  2.0e+00  5.7e-07  3.06e-04
   15   67 -1.004e+04  2.19e-05  3.71e-05  6.0e-03  1.7e+00  9.4e-03  3.09e-04
   16   70 -1.005e+04  1.05e-03  7.05e-04  5.1e-02  0.0e+00  1.1e-01  7.05e-04
   17   72 -1.006e+04  3.75e-04  6.65e-04  9.0e-03  1.7e+00  1.8e-02  1.08e-03
   18   73 -1.006e+04  1.30e-04  2.15e-04  8.8e-03  1.3e+00  1.8e-02  5.06e-04
   19   74 -1.006e+04  3.37e-06  1.39e-05  2.7e-03  0.0e+00  4.8e-03  1.39e-05
   20   75 -1.006e+04  5.11e-06  7.95e-06  2.2e-03  6.4e-01  4.8e-03  1.02e-05
   21   76 -1.006e+04  3.75e-07  2.31e-06  9.7e-04  0.0e+00  1.8e-03  2.31e-06
   22   77 -1.006e+04  7.79e-07  6.72e-07  4.7e-04  0.0e+00  9.4e-04  6.72e-07
   23   78 -1.006e+04  8.00e-10  4.34e-10  4.1e-06  0.0e+00  8.8e-06  4.34e-10
   24   79 -1.006e+04  1.72e-10  4.62e-11  2.1e-06  0.0e+00  3.8e-06  4.62e-11
   25   80 -1.006e+04  2.31e-11  8.91e-15  9.2e-08  0.0e+00  2.1e-07  8.91e-15
   26   81 -1.006e+04  1.87e-12  5.35e-17  7.5e-09  0.0e+00  1.7e-08  5.35e-17
   27   82 -1.006e+04  2.53e-15  1.39e-23  1.5e-12  0.0e+00  2.6e-12  1.39e-23
   28   83 -1.006e+04 -7.23e-16  7.08e-29  1.9e-15  0.0e+00  3.7e-15  7.08e-29

* X- AND RELATIVE FUNCTION CONVERGENCE *

FUNCTION    -1.005976e+04   RELDX        1.935e-15
FUNC. EVALS      83         GRAD. EVALS      28
PRELDF       7.078e-29      NPRELDF      7.078e-29

    I      FINAL X(I)        D(I)          G(I)

    1    6.826205e-06     1.000e+00    -1.410e-06
    2    9.525933e-02     1.000e+00    -3.441e-10
    3    8.891568e-01     1.000e+00    -4.288e-10


* ESTIMATION WITH ANALYTICAL GRADIENT *


    I     INITIAL X(I)        D(I)

    1     2.257505e-04     1.000e+00
    2     5.000000e-02     1.000e+00
    3     5.000000e-02     1.000e+00

   IT   NF      F         RELDF    PRELDF    RELDX   STPPAR   D*STEP   NPRELDF
    0    1 -1.033e+04
    1    7 -1.034e+04  3.61e-04  4.83e-04  1.1e-04  4.3e+10  1.1e-05  1.04e+07
    2    8 -1.034e+04  8.82e-05  1.06e-04  9.8e-05  2.0e+00  1.1e-05  3.77e+01
    3    9 -1.034e+04  4.20e-06  4.54e-06  1.1e-04  2.0e+00  1.1e-05  3.73e+01
    4   16 -1.037e+04  2.72e-03  3.74e-03  3.1e-01  2.0e+00  4.4e-02  3.72e+01
    5   19 -1.039e+04  1.69e-03  1.52e-03  6.3e-01  2.0e+00  1.8e-01  3.77e-01
    6   21 -1.043e+04  4.72e-03  3.71e-03  4.4e-01  2.0e+00  3.5e-01  5.29e+01
    7   23 -1.045e+04  1.15e-03  1.14e-03  5.7e-02  2.0e+00  7.1e-02  6.36e+03
    8   24 -1.046e+04  1.57e-03  2.26e-03  9.8e-02  2.0e+00  1.4e-01  2.17e+01
    9   30 -1.046e+04  3.64e-05  1.51e-04  9.9e-07  2.3e+01  1.6e-06  2.37e-02
   10   31 -1.046e+04  1.26e-05  1.13e-05  8.5e-07  2.0e+00  1.6e-06  9.87e-05
   11   39 -1.046e+04  1.14e-04  8.29e-05  8.3e-03  0.0e+00  1.5e-02  8.29e-05
   12   42 -1.047e+04  2.74e-04  3.23e-04  3.2e-02  1.4e+00  5.8e-02  4.35e-03
   13   43 -1.047e+04  3.99e-05  1.60e-04  3.0e-02  5.1e-01  5.8e-02  1.82e-04
   14   44 -1.047e+04  1.43e-05  1.23e-04  1.7e-02  0.0e+00  3.1e-02  1.23e-04
   15   45 -1.047e+04  2.05e-05  3.87e-05  3.9e-03  0.0e+00  8.3e-03  3.87e-05
   16   47 -1.047e+04  2.04e-05  1.51e-05  6.6e-03  0.0e+00  1.3e-02  1.51e-05
   17   48 -1.047e+04  8.36e-07  7.32e-07  1.3e-03  0.0e+00  2.4e-03  7.32e-07
   18   49 -1.047e+04  2.60e-07  3.22e-07  3.1e-04  0.0e+00  6.4e-04  3.22e-07
   19   62 -1.047e+04  5.31e-11  4.12e-09  1.0e-09  6.2e+00  1.8e-09  6.37e-08
   20   76 -1.047e+04 -7.82e-15  4.65e-14  1.3e-14  2.9e+05  2.4e-14  6.15e-08

* FALSE CONVERGENCE *

FUNCTION    -1.046832e+04   RELDX        1.334e-14
FUNC. EVALS      76         GRAD. EVALS      20
PRELDF       4.654e-14      NPRELDF      6.145e-08

    I      FINAL X(I)        D(I)          G(I)

    1    9.417356e-06     1.000e+00    -2.065e+04
    2    7.484815e-02     1.000e+00    -5.749e+00
    3    8.844196e-01     1.000e+00    -4.211e+00


* ESTIMATION WITH ANALYTICAL GRADIENT *


    I     INITIAL X(I)        D(I)

    1     2.181429e-04     1.000e+00
    2     5.000000e-02     1.000e+00
    3     5.000000e-02     1.000e+00

   IT   NF      F         RELDF    PRELDF    RELDX   STPPAR   D*STEP   NPRELDF
    0    1 -1.038e+04
    1    7 -1.038e+04  3.17e-04  4.31e-04  1.0e-04  4.5e+10  1.0e-05  9.62e+06
    2    8 -1.038e+04  7.00e-05  8.28e-05  8.4e-05  2.0e+00  1.0e-05  3.82e+01
    3    9 -1.038e+04  3.07e-06  3.24e-06  9.9e-05  2.0e+00  1.0e-05  3.78e+01
    4   17 -1.042e+04  4.34e-03  7.47e-03  4.7e-01  2.0e+00  8.8e-02  3.77e+01
    5   20 -1.050e+04  6.93e-03  6.29e-03  7.5e-01  2.0e+00  3.5e-01  1.63e+00
    6   29 -1.050e+04  1.73e-04  1.09e-03  1.8e-05  3.7e+00  1.4e-05  1.83e+01
    7   30 -1.050e+04  1.81e-04  1.51e-04  1.6e-05  2.0e+00  1.4e-05  2.33e+01
    8   31 -1.050e+04  4.68e-06  5.18e-06  1.7e-05  2.0e+00  1.4e-05  2.58e+01
    9   40 -1.055e+04  4.72e-03  4.41e-03  1.8e-01  2.0e+00  1.8e-01  2.54e+01
   10   42 -1.056e+04  6.86e-04  1.22e-03  3.0e-02  2.0e+00  3.7e-02  4.53e+02
   11   43 -1.057e+04  1.22e-03  1.32e-03  2.8e-02  2.0e+00  3.7e-02  6.03e+02
   12   45 -1.058e+04  9.20e-04  1.87e-03  6.1e-02  2.0e+00  8.6e-02  2.88e+02
   13   52 -1.058e+04  1.65e-05  4.29e-05  4.8e-07  7.7e+03  7.1e-07  1.03e+00
   14   53 -1.058e+04  7.90e-07  7.27e-07  4.6e-07  2.0e+00  7.1e-07  5.05e-04
   15   61 -1.058e+04  5.12e-05  9.02e-05  7.7e-03  1.5e+00  1.2e-02  4.99e-04
   16   62 -1.058e+04  1.19e-04  6.19e-05  6.2e-03  0.0e+00  1.2e-02  6.19e-05
   17   64 -1.059e+04  3.51e-04  3.50e-04  2.2e-02  0.0e+00  4.6e-02  6.11e-04
   18   65 -1.059e+04  1.67e-04  1.94e-04  2.2e-02  6.0e-01  4.6e-02  2.50e-04
   19   66 -1.059e+04  1.29e-05  2.32e-05  8.6e-03  0.0e+00  1.6e-02  2.32e-05
   20   67 -1.059e+04  3.85e-06  4.50e-06  2.0e-03  0.0e+00  3.7e-03  4.50e-06
   21   68 -1.059e+04  2.67e-08  1.06e-07  3.1e-04  0.0e+00  6.7e-04  1.06e-07
   22   69 -1.059e+04  4.00e-08  1.65e-08  2.3e-04  0.0e+00  4.4e-04  1.65e-08
   23   72 -1.059e+04  1.50e-10  3.07e-11  4.8e-07  1.9e+00  7.9e-07  4.14e-10
   24   75 -1.059e+04  1.28e-12  3.99e-13  9.8e-09  2.0e+00  1.6e-08  3.74e-10
   25   77 -1.059e+04  6.09e-13  1.40e-13  3.5e-09  2.0e+00  5.7e-09  3.69e-10
   26   84 -1.059e+04 -4.64e-15  3.60e-18  6.9e-15  1.5e+02  1.1e-14  3.70e-10

* FALSE CONVERGENCE *

FUNCTION    -1.058874e+04   RELDX        6.947e-15
FUNC. EVALS      84         GRAD. EVALS      26
PRELDF       3.598e-18      NPRELDF      3.702e-10

    I      FINAL X(I)        D(I)          G(I)

    1    9.801076e-06     1.000e+00    -3.318e+00
    2    1.453401e-01     1.000e+00     2.359e-01
    3    8.208107e-01     1.000e+00     2.353e-01
print(coeficientes_garch)

             [,1]         [,2]         [,3]
[1,] 6.826205e-06 9.417356e-06 9.801076e-06
[2,] 9.525933e-02 7.484815e-02 1.453401e-01
[3,] 8.891568e-01 8.844196e-01 8.208107e-01

colnames(coeficientes_garch) = nombres # se renombran las columnas con los nombres de las acciones.

rownames(coeficientes_garch) = c("Omega", "Alfa", "Beta") # se renombran las filas con los nombres de los coeficientes.

print(coeficientes_garch)

               ECO     PFBCOLOM          ISA
Omega 6.826205e-06 9.417356e-06 9.801076e-06
Alfa  9.525933e-02 7.484815e-02 1.453401e-01
Beta  8.891568e-01 8.844196e-01 8.208107e-01

Acción ECO:

\(\omega=0,000006826205\), \(\alpha=0,09525933\) y \(\beta=0,8891568\).

Acción PFBCOLOM:

\(\omega=0,000009417356\), \(\alpha=0,07484815\) y \(\beta=0,8844196\).

Acción ISA:

\(\omega=0,000009801076\), \(\alpha=0,1453401\) y \(\beta=0,8208107\).

Volatilidades de largo plazo

\[V_L=\frac{\omega}{1-\alpha-\beta}\]

Volatilidad de largo plazo de cada ación

volatilidad_largo_plazo = vector()

for(i in 1:acciones){

  volatilidad_largo_plazo[i] = coeficientes_garch[1, i]/(1 - coeficientes_garch[2, i] - coeficientes_garch[3, i])
}

print(volatilidad_largo_plazo)

[1] 0.0004380293 0.0002312015 0.0002895511

  • La volatilidad a largo plazo de ECO es de 0,0438% diaria.

  • La volatilidad a largo plazo de PFBCOLOM es de 0,0231% diaria.

  • La volatilidad a largo plazo de ISA es de 0,0290% diaria.

Volatilidad GARCH(1,1)

numero_rendimientos = nrow(rendimientos)
numero_rendimientos
2815

Al igual que en volatilidad EWMA, se calculará la volatilidad GARCH(1,1) para cada período. El primer período tendra un valor igual a cero. Por tanto, en el segundo ciclo for se empezará a partir de dos, porque en uno se especificará que será igual a cero.

volatilidad_garch = matrix(, numero_rendimientos, acciones) # Matriz para calcular volatilidad GARCH para cada período por acción.

volatilidad_garch[1,] = 0 # La primera fila de la matriz anterior tendrá como valor semilla igual a cero.

for(j in 1:acciones){

  for(i in 2:numero_rendimientos){

    volatilidad_garch[i, j] = sqrt(coeficientes_garch[1, j] + coeficientes_garch[2, j]*rendimientos[i - 1, j]^2 + coeficientes_garch[3, j]*volatilidad_garch[i - 1, j]^2)

  }
}

En el código anterior, debido a que la volatilidad GARCH es recursiva, la volatilidad del período actual depende del rendimiento y de la volatilidad GARCH del período anterior \(t - 1\). Por esto, se utiliza [i - 1] para indicar que se utiliza el valor del período anterior.

print(head(volatilidad_garch))
print(tail(volatilidad_garch))

            [,1]        [,2]       [,3]
[1,] 0.000000000 0.000000000 0.00000000
[2,] 0.006055458 0.007575907 0.01094800
[3,] 0.010798196 0.011493912 0.01131400
[4,] 0.012842937 0.011366951 0.01472144
[5,] 0.021797419 0.011206087 0.01533026
[6,] 0.021391767 0.014720891 0.02137907
              [,1]       [,2]       [,3]
[2810,] 0.01397373 0.01313261 0.01473754
[2811,] 0.01358770 0.01302408 0.01408182
[2812,] 0.01316561 0.01357842 0.01351985
[2813,] 0.01277953 0.01400391 0.01294363
[2814,] 0.01233045 0.01352324 0.01556906
[2815,] 0.01209445 0.01311569 0.01861139

Volatilidad GARCH(1,1) de cada acción

El último valor corresponde a la volatilidad GARCH de cada acción.

vol_GARCH = tail(volatilidad_garch, 1)
print(vol_GARCH)

              [,1]       [,2]       [,3]
[2815,] 0.01209445 0.01311569 0.01861139

colnames(vol_GARCH) = nombres # se renombran las columnas con los nombres de las acciones.
print(vol_GARCH)

               ECO   PFBCOLOM        ISA
[2815,] 0.01209445 0.01311569 0.01861139

Volatilidad GARCH:

  • ECO: 1,21% diaria.

  • PFBCOLOM: 1,31% diaria.

  • ISA: 1,86% diaria.

Volatilidad histórica de cada acción

Anteriormente se habían calculado.

print(volatilidades)

       ECO   PFBCOLOM        ISA
0.01862871 0.01583774 0.01556859

Volatilidad histórica:

  • ECO: 1,86% diaria.

  • PFBCOLOM: 1,58% diaria.

  • ISA: 1,56% diaria.

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