Simulación de cobertura con opciones

Importar datos.

datos = read.csv("TRM diaria febrero 2020.csv", sep = ";", dec = ",")

head(datos)

A data.frame: 6 × 2

	Fecha	TRM
	<fct>	<dbl>
1	20/04/2018	2724.47
2	23/04/2018	2757.96
3	24/04/2018	2799.45
4	25/04/2018	2785.22
5	26/04/2018	2820.29
6	27/04/2018	2812.83

Vector de precios.

precios = datos[,2]
precios = ts(precios)

Rendimientos continuos

rendimientos = diff(log(precios))

Gráfico de los precios

plot(precios, main = "Precio", lwd = 3)

Gráfico de los rendimientos

plot(rendimientos, main = "Rendimientos", t = "h")

\(S_0:\)

s = tail(precios,1)
s = as.numeric(s)
s

3401.56

\(\mu:\) Rendimiento esperado

mu = mean(rendimientos) #diario
mu

0.000504455082133001

\(\sigma:\)Volatilidad

volatilidad = sd(rendimientos) #diaria
volatilidad

0.00641517094088037

Estrategias de cobertura con opciones financieras

Call

Spread Comprador

Put

Spread Vendedor

Valoración de una opción europea sobre divisas con vencimiento a un mes.

Estrategias de cobertura para compradores:

• Call:

\[PrecioCobertura = |-S_T + máx[S_T - K_1,0] - primaCall_1|\]

• Spread:

\[PrecioCobertura = |-S_T + máx[S_T - K_1,0] - primaCall_1 + mín[K_2 - S_T,0] + primaCall_2|\]

Estrategias de cobertura para vendedores:

• Put:

\[PrecioCobertura = S_T + máx[K_1 - S_T,0] - primaPut_1\]

• Spread:

\[PrecioCobertura = S_T + mín[S_T - K_1,0] + primaPut_1 + máx[K_2 - S_T,0] - primaPut_2\]

\(K_1 = 3.400\).

\(K_2 = 3.450\).

k1 = 3400
k2 = 3450

# Tasas libres de riesgo

r = 0.018 # E.A. (Colombia)

rf = 0.003 # Nominal (USA)

# Con el modelo Black-Scholes se trabaja con tasas continuas:

r = log(1+r) # C.C.A.

rf = log(1+rf/12)*12 # C.C.A.

T = 30 # 1 mes
dt = 1 # saltos diarios
iteraciones = 10000

set.seed(1) # Valor semilla para la simulación. Con esto siempre se obtendrá el mismo valor.

# Simulación del precio del activo subyacente con un mundo neutral al riesgo

st_prima = matrix(, iteraciones, T+1)

st_prima[,1] = s

for(i in 1:iteraciones){

    for(j in 2:(T+1)){

   st_prima[i,j] = st_prima[i,j-1]*exp((r/360-rf/360-volatilidad^2/2)*dt+volatilidad*sqrt(dt)*rnorm(1))

   }
}

compensacionesCall1 = vector()
compensacionesCall2 = vector()
compensacionesPut1 = vector()
compensacionesPut2 = vector()

for(i in 1:iteraciones){

    compensacionesCall1[i] = max(st_prima[i,T+1]-k1,0)*exp(-(r-rf)*1/12)
    compensacionesCall2[i] = max(st_prima[i,T+1]-k2,0)*exp(-(r-rf)*1/12)

    compensacionesPut1[i] = max(k1-st_prima[i,T+1],0)*exp(-(r-rf)*1/12)
    compensacionesPut2[i] = max(k2-st_prima[i,T+1],0)*exp(-(r-rf)*1/12)
}

primaCall1 = mean(compensacionesCall1)
primaCall1

50.0354164730773

primaCall2 = mean(compensacionesCall2)
primaCall2

28.6308069043686

primaPut1 = mean(compensacionesPut1)
primaPut1

44.570561858486

primaPut2 = mean(compensacionesPut2)
primaPut2

73.1041559547008

Simulación de coberturas con opciones europeas

# Simulación del precio del activo subyacente con riesgo, se utiliza el rendimiento esperado.

st = matrix(, iteraciones, T+1)

st[,1] = s

for(i in 1:iteraciones){

    for(j in 2:(T+1)){

   st[i,j] = st[i,j-1]*exp((mu-volatilidad^2/2)*dt+volatilidad*sqrt(dt)*rnorm(1))

   }
}

# Precios con cobertura.

coberturaCall = vector()
coberturaPut = vector()
coberturaSpreadComprador = vector()
coberturaSpreadVendedor = vector()

for(i in 1:iteraciones){

   coberturaCall[i] = abs(-st[i,T+1]+max(st[i,T+1]-k1,0)-primaCall1)

   coberturaPut[i] = st[i,T+1]+max(k1-st[i,T+1],0)-primaPut1

   coberturaSpreadComprador[i] = abs(-st[i,T+1]+max(st[i,T+1]-k1,0)+min(k2-st[i,T+1],0))

   coberturaSpreadVendedor[i] = st[i,T+1]+min(st[i,T+1]-k1,0)+max(k2-st[i,T+1],0)

}

resultados = data.frame(st[,T+1], coberturaCall, coberturaSpreadComprador, coberturaPut, coberturaSpreadVendedor)

colnames(resultados) = c("Sin cobertura", "Cobertura Call", "Cobertura Spread Comprador", "Cobertura Put", "Cobertura Spread Vendedor")
head(resultados)

A data.frame: 6 × 5

	Sin cobertura	Cobertura Call	Cobertura Spread Comprador	Cobertura Put	Cobertura Spread Vendedor
	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>
1	3530.193	3450.035	3480.193	3485.622	3530.193
2	3439.483	3450.035	3400.000	3394.912	3450.000
3	3552.663	3450.035	3502.663	3508.092	3552.663
4	3581.864	3450.035	3531.864	3537.293	3581.864
5	3564.243	3450.035	3514.243	3519.672	3564.243
6	3777.631	3450.035	3727.631	3733.060	3777.631

Gráficos con ggplot2

Instalar la librería: install.packages("tidyverse")

library(ggplot2)

1. Escenario sin cobertura: \(S_T\)

Valor esperado

mean(resultados[,"Sin cobertura"])

3452.98946373105

Percentil del 5% y 95%

quantile(resultados[,"Sin cobertura"], c(0.05, 0.95))

5%

3259.0653544565

95%

3653.75953422285

Desviación estándar

sd(resultados[,"Sin cobertura"])

121.118584544262

ggplot(data = resultados, aes(resultados[,"Sin cobertura"]))+
  geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth = 50, colour = "darkgray", fill = "darkgray")+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Sin cobertura"], c(0.05, 0.95)), colour="black", size=1.5)+
  labs(title = "Escenario sin cobertura", x = "Precio")

2. Escenario con cobertura: Call

Valor esperado

mean(resultados[,"Cobertura Call"])

3423.96108935102

Percentil del 5% y 95%

quantile(resultados[,"Cobertura Call"], c(0.05, 0.95))

5%

3309.10077092958

95%

3450.03541647308

Desviación estándar

sd(resultados[,"Cobertura Call"])

51.6029775705823

ggplot(data = resultados, aes(resultados[,"Cobertura Call"]))+
  geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth = 50, colour = "darkgray", fill = "darkgray")+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Cobertura Call"], c(0.05, 0.95)), colour="darkgreen", size=1.5)+
  labs(title = "Escenario cobertura Call", x = "Precio")

3. Escenario con cobertura: Spread Comprador

Valor esperado

mean(resultados[,"Cobertura Spread Comprador"])

3423.54774036469

Percentil del 5% y 95%

quantile(resultados[,"Cobertura Spread Comprador"], c(0.05, 0.95))

5%

3259.0653544565

95%

3603.75953422285

Desviación estándar

sd(resultados[,"Cobertura Spread Comprador"])

102.746807530895

ggplot(data = resultados, aes(resultados[,"Cobertura Spread Comprador"]))+
  geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth = 50, colour = "darkgray", fill = "darkgray")+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Cobertura Spread Comprador"], c(0.05, 0.95)), colour="darkblue", size=1.5)+
  labs(title = "Escenario cobertura Spread Comprador", x = "Precio")

Sin cobertura, cobertura Call y cobertura Spread Comprador

ggplot(data = resultados, aes(resultados[,"Sin cobertura"]))+
  geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth = 50, colour = "darkgray", fill = "darkgray")+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Sin cobertura"], c(0.05, 0.95)), colour="black", size=1.5)+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Cobertura Call"],c(0.05, 0.95)), colour="darkgreen", size=1.5)+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Cobertura Spread Comprador"],c(0.05, 0.95)), colour="darkblue", size=1.5)+
  labs(x = "Precio")

4. Escenario con cobertura: Put

Valor esperado

mean(resultados[,"Cobertura Put"])

3434.49322899461

Percentil del 5% y 95%

quantile(resultados[,"Cobertura Put"], c(0.05, 0.95))

5%

3355.42943814151

95%

3609.18897236437

Desviación estándar

sd(resultados[,"Cobertura Put"])

88.788296453783

ggplot(data = resultados, aes(resultados[,"Cobertura Put"]))+
  geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth = 50, colour = "darkgray", fill = "darkgray")+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Cobertura Put"], c(0.05, 0.95)), colour="darkgreen", size=1.5)+
  labs(title = "Escenario cobertura Put", x = "Precio")

5. Escenario con cobertura: Spread Vendedor

Valor esperado

mean(resultados[,"Cobertura Spread Vendedor"])

3473.54774036469

Percentil del 5% y 95%

quantile(resultados[,"Cobertura Spread Vendedor"], c(0.05, 0.95))

5%

3309.0653544565

95%

3653.75953422285

Desviación estándar

sd(resultados[,"Cobertura Spread Vendedor"])

102.746807530895

ggplot(data = resultados, aes(resultados[,"Cobertura Spread Vendedor"]))+
  geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth = 50, colour = "darkgray", fill = "darkgray")+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Cobertura Spread Vendedor"], c(0.05, 0.95)), colour="darkblue", size=1.5)+
  labs(title = "Escenario cobertura Spread Vendedor", x = "Precio")

Sin cobertura, cobertura Put y cobertura Spread Vendedor

ggplot(data = resultados, aes(resultados[,"Sin cobertura"]))+
  geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth = 50, colour = "darkgray", fill = "darkgray")+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Sin cobertura"], c(0.05, 0.95)), colour="black", size=1.5)+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Cobertura Put"], c(0.05, 0.95)), colour="darkgreen", size=1.5)+
  geom_vline(xintercept = quantile(resultados[,"Cobertura Spread Vendedor"], c(0.05, 0.95)), colour="darkblue", size=1.5)+
  labs(x = "Precio")

Sin cobertura, cobertura Call y cobertura Spread Comprador

ggplot(resultados, aes(resultados[,"Sin cobertura"])) + geom_histogram(binwidth = 50, alpha = 0.5, colour = "darkgray", fill = "darkgray")+
  geom_histogram(aes(resultados[,"Cobertura Call"]), alpha = 0.3, binwidth = 50, colour = "darkgreen", fill = "darkgreen")+
  geom_histogram(aes(resultados[,"Cobertura Spread Comprador"]), alpha = 0.3, binwidth = 50, colour = "darkblue", fill = "darkblue")+
  labs(title = "Histogramas", x = "Precio", y = "Frecuencia")

Sin cobertura, cobertura Put y cobertura Spread Vendedor

ggplot(resultados, aes(resultados[,"Sin cobertura"])) + geom_histogram(binwidth = 50, alpha = 0.5, colour = "darkgray", fill = "darkgray")+
  geom_histogram(aes(resultados[,"Cobertura Put"]), alpha = 0.3, binwidth = 50, colour = "darkgreen", fill = "darkgreen")+
  geom_histogram(aes(resultados[,"Cobertura Spread Vendedor"]), alpha = 0.3, binwidth = 50, colour = "darkblue", fill = "darkblue")+
  labs(title = "Histogramas", x = "Precio", y = "Frecuencia")