Volatilidad portafolio de inversión¶

La varianza es el cuadrado de la dispersión alrededor de la media (\(\sigma^2\)).

La desviación estándar, o también llamada volatilidad, es la raíz cuadrada de la varianza. Tiene las mismas unidades que la variable original.

Forma polinomial¶

\[\sigma_P=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_iw_j\sigma_{i,j}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_iw_j\sigma_j\sigma_j\rho_{i,j}}\]

\[\sigma_P=\sqrt{\sum_{i=1}^nw_i^2\sigma_i^2+2\sum_{i<j}w_iw_j\sigma_i\sigma_j\rho_{i,j}}\]

Varianza entre dos activos.¶

\[\sigma_P^2=w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2+2w_Aw_B\sigma_{A,B}\]

\(\sigma_p^2:\) varianza del portafolio de inversión.

\(\sigma_A^2:\) varianza activo A.

\(\sigma_B^2:\) varianza activo B.

\(w_A^2:\) proporción de inversión en A al cuadrado.

\(w_B^2:\) proporción de inversión en B al cuadrado.

\(w_A:\) proporción de inversión en A.

\(w_B:\) proporción de inversión en B.

\(\sigma_{A,B}:\) covarianza entre A y B.

Volatilidad de dos activos.¶

\[\sigma_P=\sqrt{w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2+2w_Aw_B\sigma_{A,B}}\]

\(\sigma_p:\) volatilidad o desviación estándar del portafolio de inversión.

\[\sigma_{A,B}=\sigma_A \sigma_B\rho_{A,B}\]

\(\rho_{A,B}:\) coeficiente de correlación entre A y B.

\[\sigma_P=\sqrt{w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2+2w_Aw_B\sigma_A\sigma_B\rho_{A,B}}\]

Ejemplo:¶

	Volatilidad	Proporción de inversión
Acción A	2%	70%
Acción B	5%	30%

\[\rho_{A,B}=0,67\]

volatilidad_portafolio = sqrt(0.7^2*0.02^2 + 0.3^2*0.05^2 + 2*0.7*0.3*0.02*0.05*0.67)
volatilidad_portafolio

0.0265028300375639

Volatilidad del portafolio de inversión de 2,65%.

Ejemplo:¶

	Volatilidad	Proporción de inversión
Acción A	2%	30%
Acción B	5%	70%

\[\rho_{A,B}=0,67\]

volatilidad_portafolio = sqrt(0.30^2*0.02^2 + 0.70^2*0.05^2 + 2*0.30*0.70*0.02*0.05*0.67)
volatilidad_portafolio

0.0392734006676274

Volatilidad del portafolio de inversión de 3,93%.

Volatilidad de tres activos.¶

\[\sigma_P=\sqrt{w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2+w_C^2\sigma_C^2+2w_Aw_B\sigma_{A,B}+2w_Aw_C\sigma_{A,C}+2w_Bw_C\sigma_{B,C}}\]

\[\sigma_P=\sqrt{w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2+w_C^2\sigma_C^2+2w_Aw_B\sigma_A\sigma_B\rho_{A,B}+2w_Aw_C\sigma_A\sigma_C\rho_{A,C}+2w_Bw_C\sigma_B\sigma_C\rho_{B,C}}\]

Ejemplo:¶

	Volatilidad	Proporción de inversión
Acción A	2%	20%
Acción B	4%	50%
Acción C	3,2%	30%

Matriz de coeficientes de correlación:¶

	Acción A	Acción B	Acción C
Acción A	1	0,52	0,32
Acción B	0,52	1	0,48
Acción C	0,42	0,48	1

volatilidad_portafolio = sqrt(0.20^2*0.02^2 + 0.50^2*0.04^2 + 0.30^2*0.032^2 + 2*0.20*0.50*0.02*0.04*0.52 + 2*0.20*0.30*0.02*0.032*0.42 + 2*0.50*0.30*0.04*0.032)
volatilidad_portafolio

0.0317429677251513

Volatilidad del portafolio de inversión de 3,17%.

Forma matricial¶

Varianza entre dos activos¶

Ejemplo:¶

	Volatilidad	Proporción de inversión
Acción A	2%	70%
Acción B	5%	30%

Matriz de varianzas-covarianzas¶

	Acción A	Acción B
Acción A	0,0010196809	0,0005939468
Acción B	0,0005939468	0,0008155434

Vector de proporciones.¶

proporciones = c(0.70, 0.30)
proporciones

0.7
0.3

Es importante conocer si el vector de proporciones está en posición horizontal o vertical. La ecuación de volatilidad en forma matricial, indica que primero el vector de proporciones debe estár horizontal y después vertical.

Matriz de varianzas-covarianzas¶

Si utilizamos cbind, entonces cada vector será una columna.

vector_1 = c(0.0010196809, 0.0005939468)

vector_2 = c(0.0005939468, 0.0008155434)

covarianzas = cbind(vector_1, vector_2)
covarianzas

A matrix: 2 × 2 of type dbl
vector_1	vector_2
0.0010196809	0.0005939468
0.0005939468	0.0008155434

volatilidad_portafolio = sqrt(sum(proporciones%*%covarianzas*t(proporciones)))
volatilidad_portafolio

0.0286792643385426

Volatilidad del portafolio de inversión de 2,87%.

Ejemplo con histórico de precios¶

Importar datos.¶

datos = read.csv("Cuatro acciones 2020.csv", sep = ";", dec = ",", header = T)

Matriz de precios.¶

precios = datos[,-1]

precios = ts(precios)

Nombres de las acciones.¶

nombres = colnames(precios)
nombres

'ECO'
'PFAVAL'
'ISA'
'NUTRESA'

Matriz de rendimientos.¶

rendimientos = diff(log(precios))

Volatilidad de cada acción.¶

volatilidades = apply(rendimientos, 2, sd)
volatilidades

ECO: 0.0319324424190137
PFAVAL: 0.0285577211893029
ISA: 0.0237292026947701
NUTRESA: 0.0140104740592151

Matriz de varianzas-covarianzas¶

covarianzas = cov(rendimientos)
covarianzas

A matrix: 4 × 4 of type dbl
	ECO	PFAVAL	ISA	NUTRESA
ECO	0.0010196809	0.0005939468	0.0001160327	0.0001493216
PFAVAL	0.0005939468	0.0008155434	0.0001564360	0.0001322689
ISA	0.0001160327	0.0001564360	0.0005630751	0.0001519996
NUTRESA	0.0001493216	0.0001322689	0.0001519996	0.0001962934

Proporciones de inversión.¶

proporciones = c(0.20, 0.30, 0.40, 0.10)
proporciones

0.2
0.3
0.4
0.1

Volatilidad del portafolio de inversión (forma matricial).¶

volatilidad_portafolio = sqrt(sum(proporciones*covarianzas*t(proporciones)))
volatilidad_portafolio

Error in proporciones * covarianzas * t(proporciones): arreglos de dimensón no compatibles
Traceback:

Para corregir el error anterior, debemos poner en la primera multiplicación %*%, que en código de R se utiliza para multiplicación de vectores y matrices.

volatilidad_portafolio = sqrt(sum(proporciones%*%covarianzas*t(proporciones)))
volatilidad_portafolio

0.0189655883295511

Volatilida del portafolio de inversión de 1,897% diaria.

Volatilidad del portafolio de inversión a partir de los rendimientos de las acciones.¶

Rendimientos del portafolio de inversión.¶

rendimientos_portafolio = vector()

for(i in 1:nrow(rendimientos)){

  rendimientos_portafolio[i] = sum(rendimientos[i,]*proporciones)
}

Volatilidad del portafolio de inversión¶

volatilidad_portafolio = sd(rendimientos_portafolio)
volatilidad_portafolio

0.0189655883295511

Se obtiene el mismo resultado que por la forma matricial. Este método se puede usar sólo cuando se tienen los históricos de precios.