Análisis de los residuales

Después de ajustar y seleccionar un modelo de series de tiempo, el siguiente paso fundamental es analizar los residuales.

Los residuales representan la parte de la serie que no ha sido explicada por el modelo.

Definición de residuales

Los residuales se definen como la diferencia entre los valores observados y los valores ajustados por el modelo:

\(e_t = y_t - \hat{y}_t\)

donde \(y_t\) es el valor observado y \(\hat{y}_t\) es el valor pronosticado o ajustado.

En modelos de regresión, la ecuación general puede expresarse como:

\(e_t = y_t - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_{1,t} - \hat{\beta}_2 x_{2,t} - \dots - \hat{\beta}_k x_{k,t}\)

Importancia de los residuales

El análisis de los residuales permite verificar si el modelo ha capturado adecuadamente la información contenida en los datos.

Un buen modelo debe dejar residuales que se asemejen a un ruido blanco, es decir, que sean aleatorios e independientes.

Propiedades deseadas de los residuales

Un modelo adecuado debería producir residuales con las siguientes propiedades:

1. Los residuales son no correlacionados.

   Si los residuales están correlacionados, significa que hay información no capturada por el modelo.

2. Los residuales tienen media cero.

   Si la media de los residuales es distinta de cero, los pronósticos son sesgados.

3. Los residuales tienen varianza constante (homocedasticidad).

   Si la varianza cambia con el tiempo, puede existir heterocedasticidad.

4. Los residuales son normalmente distribuidos.

   Esto facilita el cálculo de intervalos de predicción.

Interpretación

Cuando estas condiciones se cumplen, los residuales pueden considerarse como ruido blanco.

Esto indica que el modelo ha capturado toda la información relevante y que los errores se deben únicamente al azar.

Gráficos y pruebas para el análisis de residuales

Para evaluar si las propiedades anteriores se cumplen, se utilizan diferentes herramientas gráficas y estadísticas:

1. Gráfico de residuales en el tiempo

Permite observar si los residuales fluctúan alrededor de cero sin mostrar patrones sistemáticos.

Una tendencia o cambio en la variabilidad a lo largo del tiempo sugiere que el modelo no es adecuado.

2. ACF de los residuales

El gráfico de la función de autocorrelación (ACF) muestra si los residuales están correlacionados entre sí.

Si la mayoría de las barras se encuentran dentro de las bandas de confianza, los residuales no presentan autocorrelación.

La PACF de los residuales puede usarse como complemento para identificar el tipo de dependencia que aún persiste.

Por ejemplo:

• Si la PACF muestra un rezago significativo, puede sugerir que falta un término autorregresivo (AR).

• Si la ACF muestra un patrón significativo pero la PACF se corta rápidamente, puede indicar que falta un término de promedio móvil (MA).

En otras palabras, la PACF en los residuales ayuda a diagnosticar qué tipo de estructura quedó sin modelar, aunque el diagnóstico formal se basa principalmente en la ACF y en la prueba de Ljung–Box.

Se pueden aplicar pruebas como la Breusch-Godfrey o la Ljung-Box para evaluar la autocorrelación.

3. Prueba de Ljung-Box

• Hipótesis nula (:math:`H_0`): Los residuales son independientes (no autocorrelados).

• Hipótesis alternativa (:math:`H_1`): Los residuales están correlacionados.

Si el valor p es mayor que 0.05, no se rechaza la hipótesis nula y los residuales se pueden considerar independientes.

Si el valor p es menor que 0.05, se rechaza la hipótesis nula, indicando autocorrelación y un modelo posiblemente mal especificado.

• Si tanto la ACF como la PACF de los residuales están dentro de las bandas de confianza, y la prueba de Ljung–Box no rechaza la hipótesis nula de independencia, entonces los residuales se comportan como ruido blanco y el modelo es adecuado.

• Si en la ACF o PACF aparecen picos significativos, significa que aún existe dependencia temporal no explicada por el modelo.

4. Histograma de los residuales

Permite visualizar la distribución de los residuales.

Idealmente debe aproximarse a una distribución normal centrada en cero.

5. Q-Q Plot (Quantile-Quantile Plot)

El Q-Q plot compara los cuantiles de los residuales con los de una distribución normal teórica.

• Si los puntos siguen aproximadamente una línea recta sobre \(y = x\), los residuales son normales.

• Si los puntos se desvían sistemáticamente, los residuales no son normales.

6. Gráfico de valores predichos vs. valores reales

Este gráfico compara directamente los valores observados \(y_t\) con los valores ajustados o pronosticados \(\hat{y}_t\).

• Eje X: valores reales (\(y_t\))

• Eje Y: valores predichos (\(\hat{y}_t\))

Interpretación:

• Si el modelo es bueno, los puntos deben alinearse cerca de la línea de 45° (línea de identidad \(y = x\)).

• Si los puntos se desvían sistemáticamente (por ejemplo, el modelo sobreestima o subestima en ciertos rangos), indica sesgo o una relación no capturada.

Propósito: evaluar la capacidad predictiva global del modelo.

Heterocedasticidad y Homocedasticidad de los residuales

Los residuales deben comportarse como ruido blanco, es decir:

• tener media cero,

• ser independientes (no autocorrelacionados), y

• tener varianza constante en el tiempo.

A esta última propiedad se le llama homocedasticidad.

Homocedasticidad

Se dice que los residuales son homocedásticos cuando su dispersión (varianza) se mantiene constante a lo largo del tiempo o frente a los valores ajustados.

Gráficamente:

• Los puntos del gráfico de residuales vs. valores ajustados se ven aleatorios y uniformemente dispersos.

• No hay zonas donde los errores sean sistemáticamente más grandes o más pequeños.

Ejemplo visual ideal:

Los residuales se agrupan de forma aleatoria y con amplitud similar en toda la gráfica. No se observa forma de embudo ni patrón.

Esto indica que el modelo explica bien la varianza y que los errores no dependen del nivel de la variable.

Heterocedasticidad

Se presenta heterocedasticidad cuando la varianza de los residuales cambia con el tiempo o con el nivel de la variable ajustada.

Gráficamente:

• Aparece una forma de embudo en el gráfico de residuales vs. valores ajustados.

• Los errores pequeños se agrupan en un extremo y los grandes en otro.

Matemáticamente, la varianza de los errores no es constante:

\[Var(e_t) = \sigma_t^2 \neq \text{constante}\]

Esto significa que los errores son más amplios (volátiles) en ciertos períodos o niveles.

Causas comunes de heterocedasticidad

• La variable dependiente tiene una escala muy amplia (por ejemplo, precios o demanda eléctrica).

• Falta de alguna transformación estabilizadora de varianza (log, raíz cuadrada, Box–Cox).

• Relación no lineal entre las variables.

• Presencia de cambios estructurales o períodos con volatilidad distinta (muy común en series financieras).

Cómo detectar heterocedasticidad

• Visualmente: con un gráfico de residuales vs. valores ajustados o vs. tiempo.

  Si hay un patrón de embudo o aumento de la dispersión → heterocedasticidad.

• Estadísticamente: con pruebas específicas, por ejemplo:

  • Breusch–Pagan test

  • White test

  • Heteroskedasticity (H) que entrega statsmodels en el resumen de los modelos de series de tiempo.

En statsmodels: Si el p-valor (Prob(H)) < 0.05, se rechaza la hipótesis nula de varianza constante → los residuales son heterocedásticos.

Si p > 0.05, no hay evidencia de heterocedasticidad → homocedasticidad.

Consecuencias de la heterocedasticidad

• No invalida el modelo, pero afecta la eficiencia estadística de las estimaciones.

• Los intervalos de predicción y las bandas de confianza pueden ser incorrectos (demasiado angostos o anchos).

• Los valores extremos o períodos de alta volatilidad pueden quedar mal representados.

En modelos de series de tiempo, esto se traduce en pronósticos menos confiables durante los períodos de alta variabilidad.

Cómo corregir la heterocedasticidad

1. Transformar la variable dependiente:

   • Logaritmo: y' = log(y)

   • Raíz cuadrada: y' = √y

   • Box–Cox: y' = (y^λ - 1) / λ

   Estas transformaciones estabilizan la varianza y reducen la amplitud del embudo.

2. Modelar explícitamente la varianza:

   • Modelos ARCH / GARCH, si la varianza depende del tiempo (común en datos financieros).

   • Modelos SARIMAX-GARCH para capturar tanto la media como la varianza condicional.

Outliers e influencias

Los valores extremos en los residuales pueden indicar outliers o observaciones influyentes.

Estos puntos pueden afectar los parámetros estimados y distorsionar el modelo.

Es importante identificar su causa y decidir si deben excluirse o analizarse por separado.

Resumen

Un buen modelo debe cumplir:

• Residuales sin autocorrelación (ruido blanco).

• Media de los residuales cercana a cero.

• Varianza constante (homocedasticidad).

• Distribución aproximadamente normal.

• Ausencia de outliers influyentes.

Si alguna de estas condiciones no se cumple, el modelo puede mejorarse mediante:

• Inclusión de rezagos adicionales.

• Incorporación de variables omitidas.

• Transformaciones de la variable dependiente (por ejemplo, logaritmo o Box-Cox).

• Cambio en la especificación del modelo (por ejemplo, pasar de ARIMA a SARIMA o agregar términos estacionales).

Conclusión

El análisis de los residuales es el paso final antes de realizar pronósticos.

Permite verificar la validez del modelo, detectar sesgos o autocorrelaciones no capturadas y confirmar que el modelo produce errores aleatorios.

Solo cuando los residuales se comportan como ruido blanco, el modelo puede considerarse listo para realizar pronósticos confiables.

Resultados de Statsmodels

Interpretación de los estadísticos de diagnóstico del modelo (salida de statsmodels)

Después de ajustar un modelo con statsmodels, el resumen incluye varias pruebas estadísticas que permiten evaluar si los residuales cumplen los supuestos básicos de un buen modelo: independencia, normalidad y homocedasticidad.

A continuación se explican los principales indicadores:

1. Ljung–Box (L1) (Q)

• Propósito: Evalúa si los residuales están autocorrelacionados.

• Hipótesis nula (:math:`H_0`): Los residuales son independientes (no hay autocorrelación).

• Estadístico Q: Mide el grado de autocorrelación conjunta hasta cierto número de rezagos (en este caso, L1 = lag 1).

• Prob(Q): Es el valor p asociado al test.

Interpretación:

• Si Prob(Q) > 0.05, no se rechaza :math:`H_0`, lo cual significa que los residuales no presentan autocorrelación → el modelo explica bien la dependencia temporal.

• Si Prob(Q) < 0.05, se rechaza :math:`H_0`, indicando autocorrelación remanente → el modelo no capturó toda la dinámica temporal.

2. Jarque–Bera (JB)

• Propósito: Evalúa la normalidad de los residuales.

• Hipótesis nula (:math:`H_0`): Los residuales siguen una distribución normal.

• Estadístico JB: Se basa en la asimetría (Skew) y la curtosis (Kurtosis) de los residuales.

• Prob(JB): Valor p asociado al test.

Interpretación:

• Si Prob(JB) > 0.05, no se rechaza :math:`H_0` → los residuales son aproximadamente normales.

• Si Prob(JB) < 0.05, se rechaza :math:`H_0` → los residuales no son normales (pueden tener sesgo o colas pesadas).

Esto afecta principalmente la validez de los intervalos de predicción y las pruebas t/z, pero no necesariamente el pronóstico promedio.

3. Heteroskedasticity (H)

• Propósito: Evalúa si los residuales tienen varianza constante (homocedasticidad).

• Hipótesis nula (:math:`H_0`): Los residuales tienen varianza constante (homocedásticos).

• Estadístico H: Es la razón entre las varianzas de dos subconjuntos de residuales.

• Prob(H): Valor p asociado al test bilateral.

Interpretación:

• Si Prob(H) > 0.05, no se rechaza :math:`H_0` → los residuales tienen varianza constante.

• Si Prob(H) < 0.05, se rechaza :math:`H_0` → hay heterocedasticidad → el modelo tiene varianza variable (por ejemplo, más dispersión en ciertos periodos).

4. Skew (asimetría)

• Mide la simetría de la distribución de los residuales.

• Valor esperado para una distribución normal: 0.

  • Skew > 0 → distribución sesgada a la derecha (cola larga positiva).

  • Skew < 0 → distribución sesgada a la izquierda (cola larga negativa).

Interpretación:

Un valor de Skew moderado (por ejemplo, ±0.5) indica asimetría leve; valores mayores de ±1 indican asimetría significativa.

5. Kurtosis (curtosis o apuntamiento)

• Mide qué tan “picuda” o “aplanada” es la distribución de los residuales comparada con una normal.

• Valor esperado para una distribución normal: 3.

  • Kurtosis > 3 → colas más pesadas (leptocúrtica).

  • Kurtosis < 3 → colas más ligeras (platicúrtica).

Interpretación:

Un valor alto de curtosis (por ejemplo, >4) indica que hay más valores extremos (outliers) de lo esperado bajo normalidad.