Modelos de Media Móvil (Moving Average Models)

Modelos de Media Móvil (Moving Average Models)#

Los modelos de media móvil (MA) constituyen una de las clases fundamentales de modelos para series de tiempo estacionarias.

A diferencia de los modelos autorregresivos, en los cuales se usan valores pasados de la serie, en los modelos MA se utilizan errores pasados de pronóstico en una ecuación de tipo regresión.

En su forma general, un modelo MA de orden \(q\), denotado como MA(\(q\)), se expresa como:

\[y_t = \mu + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q} + \varepsilon_t\]

donde:

  • \(y_t\) es el valor observado de la serie en el tiempo \(t\).

  • \(\mu\) es la media del proceso.

  • \(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_q\) son los parámetros del modelo que indican la influencia de los errores pasados.

  • \(\varepsilon_t\) es un término de error aleatorio o ruido blanco, con media cero y varianza constante.

Cada valor de la serie puede verse como un promedio ponderado de los errores pasados.

Importante: No debe confundirse este modelo con el suavizamiento por media móvil visto en capítulos anteriores.

El suavizamiento se usa para estimar la tendencia pasada, mientras que el modelo MA se utiliza para pronosticar valores futuros.

Ejemplos básicos

  • Modelo MA(1):

    \[y_t = \mu + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t\]
  • Modelo MA(2):

    \[y_t = \mu + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \varepsilon_t\]

En estos ejemplos, los valores presentes dependen de la media, del error actual y de los errores de los pasos previos.

Cuando una serie de tiempo no es estacionaria en nivel, se aplica la diferenciación para eliminar tendencias o raíces unitarias.
La primera diferencia se define como:
\[\nabla y_t = y_t - y_{t-1}\]

Al ajustar un modelo de media móvil a la serie diferenciada, la ecuación general se expresa como:

\[\nabla y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q}\]

En este contexto, la constante \(\mu\) ya no representa la media del nivel original de la serie, sino el promedio del cambio entre periodos consecutivos.

La serie diferenciada, por construcción, tiende a oscilar alrededor de cero.
Por tanto, si la tendencia fue completamente eliminada mediante la diferenciación, el valor esperado de las diferencias es aproximadamente cero:
\[E(\nabla y_t) \approx 0\]
En este caso, la constante \(\mu\) suele omitirse o fijarse en cero, ya que no aporta información adicional.
En los modelos estimados con librerías como statsmodels, esto equivale a ajustar el modelo con la opción trend='n' (sin constante).

Identificación del orden q#

El orden \(q\) del modelo MA indica cuántos errores pasados afectan al valor actual.
Para identificarlo, se utilizan los siguientes pasos:

  1. Comprobar estacionariedad de la serie (por ejemplo, usando la prueba ADF).

  2. Si no es estacionaria, aplicar transformaciones (como diferenciación o logaritmo) hasta que lo sea.

  3. Graficar la Función de Autocorrelación (ACF).

Un modelo MA(\(q\)) se caracteriza porque:

  • Los coeficientes de la ACF son significativos hasta el rezago :math:`q`,

  • y luego se vuelven insignificantes bruscamente (no con decaimiento lento).

Por tanto:

  • Si solo el primer rezago de la ACF es significativo, se trata de un MA(1).

  • Si los dos primeros lo son, un MA(2), y así sucesivamente.

Invertibilidad#

Así como los modelos AR requieren condiciones de estacionariedad, los modelos MA requieren condiciones de invertibilidad.

Un modelo MA es invertible si puede expresarse como un modelo AR con infinitos rezagos decrecientes.

Por ejemplo, para un modelo AR(1):

\[y_t = \phi_1 y_{t-1} + \varepsilon_t\]

puede reescribirse (por sustitución repetida) como un MA(\(\infty\)):

\[y_t = \varepsilon_t + \phi_1 \varepsilon_{t-1} + \phi_1^2 \varepsilon_{t-2} + \phi_1^3 \varepsilon_{t-3} + \cdots\]

De forma análoga, un modelo MA invertible puede escribirse como un AR(\(\infty\)) bajo ciertas condiciones en los parámetros \(\theta\).

Condiciones de invertibilidad

  • Para un modelo MA(1): \(|\theta_1| < 1\)

  • Para un modelo MA(2): \(\theta_2 + \theta_1 < 1\), \(\theta_2 - \theta_1 < 1\), y \(|\theta_2| < 1\)

Estas condiciones garantizan que los pesos de los errores pasados disminuyan progresivamente y que las observaciones más recientes tengan mayor influencia.

Pronóstico con modelos MA#

Una particularidad de los modelos MA(\(q\)) es que solo permiten pronosticar hasta :math:`q` pasos adelante de forma informativa.

Esto se debe a que el modelo depende de los errores pasados, y estos no se observan directamente más allá de \(q\) periodos.

Más allá de ese horizonte, el modelo simplemente pronostica la media \(\mu\).

Por ello, los pronósticos con MA se realizan de manera recursiva o rolling:

  • Se entrena el modelo,

  • Se pronostican \(q\) pasos,

  • Se actualizan los datos con los valores observados o predichos,

  • Y se repite el proceso.

Ejemplo conceptual

Suponga que la serie de ventas diarias de una empresa sigue un proceso MA(2).

Esto significa que las ventas de hoy dependen de los errores de pronóstico de los últimos dos días.

El modelo sería:

\[y_t = \mu + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \varepsilon_t\]

El orden \(q=2\) indica que el pronóstico útil máximo es de dos días.

Más allá de eso, el modelo pierde capacidad predictiva y converge al promedio histórico.

Resumen

  • Un modelo MA(:math:`q`) expresa la dependencia de una serie respecto a los errores pasados.

  • Se usa para series estacionarias.

  • La ACF muestra un corte brusco en el rezago \(q\).

  • Los modelos deben cumplir condiciones de invertibilidad para ser válidos.

  • Los pronósticos se realizan hasta \(q\) pasos adelante; después, el valor converge a la media.

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